Є в математиці теми, що користуються достатньою популярністю і в той же час визнані традицією занадто складними (або маловажливими) для включення в обов'язкове навчання: звичай відносить їх до занять факультативним, додатковим, спеціальним і т. п. У переліку таких тем є кілька, що залишаються зараз там виключно в силу інерції. Однією з них є теорема Геделя. Незважаючи на те, що дуже багато математики (і нематематики) чули про неї, мало хто з них може пояснити, в чому полягає твердження теореми Геделя і тим більше як вона доводиться. Разом з тим результат настільки важливий, а причини, що викликають непереборну неповноту (т.). е. неможливість домогтися того, щоб кожне справжнє твердження було доведене), настільки прості, що теорема Геделя могла б викладатися на наймолодших курсах. Більше того, для розуміння доказу необхідне лише знайомство з найпростішою термінологією теорії множин (словами "множина" , "функція", "область визначення" і тому подібними) і деяка звичка до сприйняття математичних міркувань, так що воно цілком доступно підготовленому школяреві. Викладений в цій брошурі спосіб доведення теореми Геделя відмінний від способу, запропонованого самим Геделем, і спирається на елементарні поняття теорії алгоритмів. Всі необхідні відомості з цієї теорії повідомляються по ходу справи, так що читач одночасно знайомиться з основними фактами теорії алгоритмів. Брошура написана на основі статті автора в журналі "Успіхи математичних наук", 1974, том 29, випуск 1 (175). Природно, що зміна кола передбачуваних читачів зробило необхідною її переробку. Зокрема, деякі більш спеціальні питання, а також бібліографічні посилання на оригінальні публікації виключені, і допитливий читач може знайти їх у згаданій статті автора. Одночасно розширено розділ, присвячений зв'язку між семантичною і синтаксичною формулюваннями теореми про неповноту, а також додані додатки, присвячені теоремі Тарського про невиразність поняття істини і обгрунтуванню аксіоми арифметичності.