Методи, що використовуються сучасною топологією, досить різноманітні. У цій книзі детально розглядаються методи комбинаторної топології, які полягають у дослідженні топологічних просторів через їх розбиття на елементарні множини, а також методи диференціальної топології, що зосереджені на вивченні гладких багаторазів і гладких відображень. Часто одну й ту саму топологічну задачу можна розв’язати як за допомогою комбинаторних, так і за допомогою диференціальних методів. У таких випадках обговорюються обидва підходи. Однією з головних цілей цієї книги є просування у вивченні властивостей топологічних просторів (особливо багаторазів) настільки далеко, наскільки це можливо без залучення складної техніки. Саме цим вона відрізняється від більшості книг з топології. У книзі багато задач і вправ, більшість із яких супроводжуються детальними рішеннями.