Викладаються основні методи і результати класифікації особливостей диференційованих відображень і функцій щодо різних відносин еквівалентності. Наводяться численні додатки теорії особливостей до диференціальної геометрії і механіки: описуються особливості еволют, подер, перебудови хвильових фронтів, функцій максимуму та ін. Дається огляд теорії особливостей меж важливих підмножин у функціональних просторах, таких як безлічі еліптичних і гіперболічних многочленів, неосциляційних (чебишевських) систем, безлічі наборів функцій, що є фундаментальними рішеннями диференціальних рівнянь; наведено початок класифікації цих особливостей. Дано численні додатки теорії монодромії: теорія лакун гіперболічних операторів, багатовимірні узагальнення теореми Ньютона про неквадрованість, гіпергеометричні функції і представлення алгебр Геке. Описана програма для ЕОМ, що перераховує розпади особливостей дійсних функцій. Велика частина результатів у монографічній літературі публікується вперше.