У цій книжці досліджується з елементарної точки зору ряд так званих варіаційних завдань. У цих задачах розглядаються величини, що залежать від кривої, і шукається крива, для якої ця величина досягає свого найбільшого або найменшого значення. Такі, наприклад, завдання: серед усіх кривих, що з'єднують дві точки на деякій поверхні, знайти найкоротшу; на площині серед усіх замкнутих кривих заданої довжини знайти ту, яка обмежує найбільшу площу, і т. д. Матеріал цієї книги в основному викладався автором на лекціях в шкільному математичному гуртку МДУ.. Зміст першої лекції (1-10) в основному збігається зі змістом вийшла в 1940 р. брошури автора «Геодезичні лінії». У читача передбачається тільки знайомство з курсом елементарної математики. При цьому перші розділи носять абсолютно елементарний характер, інші ж, не вимагаючи спеціальних знань, вимагають дещо більшого навику до математичного читання і роздумів. Весь матеріал книжки можна розглядати як елементарне введення у варіаційне числення (так називається той розділ математики, в якому систематично вивчаються завдання на відшукання мінімуму або максимуму функціоналів). Варіаційне числення не входить в перший концентр курсу «вищої математики», що вивчається, наприклад, в технічних вузах. Однак ми вважаємо, що для людини, яка приступає до вивчення курсу «вищої математики», не марно зазирнути подалі вперед. Для читача, знайомого з елементами математичного аналізу, не представить труднощів зробити деякі визначення і міркування, що викладаються в книжці не строго, абсолютно суворими (що пояснюють міркування для цього він часто знайде в тексті, даному дрібним шрифтом); потрібно, наприклад, говорити не про малих величинах і їх наближеній рівності, а про нескінченно малих величинах і їх еквівалентності. Якщо більш вимогливий читач залишиться все ж незадоволеним допущеним тут рівнем строгості і логічної закінченості розглядів, то нехай це послужить для нього поясненням необхідності тієї логічної шліфування основних понять математичного аналізу, з якою він зіткнеться, наприклад, в університетських курсах аналізу. Без цього шліфування неможливо суворий і систематичний виклад таких розділів аналізу, як варіаційне числення. Математичний аналіз виробив потужний аналітичний апарат, що вирішує іноді автоматично багато важких завдань. Однак на всіх етапах оволодіння математикою виключно важливо бачити простий геометричний або фізичний сенс розв'язуваної задачі. Потрібно вміти вирішувати завдання «на пальцях», як кажуть математики, т. е. Знайти нехай нетривалий, але простий і наочний доказ. Якщо ця невелика книжка хоч деякою мірою сприятиме розвитку у читачів цих елементів математичної культури, то автор вважатиме, що праця, витрачена ним на її написання, виявилася не марною.