Перша частина, складова зміст цього тому, присвячена докладному викладу геометрії Лобачевського, цього основного творіння, на якому перш за все побудовано сучасне вчення про основи геометрії, якщо не про обрунтування всієї взагалі математики.. Абсолютно природне прагнення до видання у нас в країні, де неевклідова геометрія виникла і отримала глибокий розвиток у працях Н. І. Лобачевського, рунтовного і серйозного викладу гіперболічної геометрії, за яким геометр міг би її рунтовно вивчити, засвоїти приблизно так, як засвоюється класична геометрія Евкліда. Я вважаю абсолютно неправильною думку, що геометрію Лобачевського достатньо собі усвідомити шляхом загального ознайомлення з однією з її інтерпретацій або моделей. Відповідно до цього, гіперболічна геометрія в цьому творі викладена так, щоб вивчає міг її засвоїти і оволодіти нею в тій же мірі, в якій він володіє класичною геометрією; а для цього її потрібно викласти в такому порядку і в такому обсязі, в якому викладається геометрія Евкліда (елементарна, аналітична, диференціальна) .. Це я і намагався виконати в цьому томі.